工科数学参考材料

杨振宁先生在很多出席的场合都提到过这样一个观点：“学习是对直觉的修改。” 他最常使用是自己 15 岁学习圆周运动时的例子，他的直觉告诉他，让物体进行圆周运动的力应该是沿着圆周的切线方向。 他琢磨了一两天后才弄懂了，速度是一个向量，不仅要注意大小，还要注意方向，在圆周运动中，向心力改变的是速度的方向。

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这给了他一个很重要的教训，我们每个人生来都具有直觉，直觉是非常重要的，如果小孩子没有直觉的话，就很难估计物体的体积、运动着的物体的速度， 那么像在过马路的时候，就很容易出事故。如果我们的直觉和我们在书本上看到的东西不一致，这就是最好的学习机会。 我们既不要放弃原有的直觉，而是要有能力去修改它，发现隐藏在主观直觉背后的客观规律，这就是学习的过程。

从辩证唯物主义认识论的观点来看，学习是一个认识物质本质的过程，感性认识是认识的初级阶段，理性认识是认识的高级阶段。 直觉是一类感性认识（直接性是感性认识的突出特点），而数学是一类理性认识（抽象性是理性认识的突出特点）。 感性认识是认识过程的起点，是达到理性认识的必经阶段，没有感性认识，就没有理性认识。 杨振宁先生通过理性思考实践，运用理论思维和科学抽象，挖掘出了对圆周运动更加深刻的理性认识。

而解决直觉和课本上的知识之间的矛盾，是直接经验和间接经验之间的矛盾， 则可以用对立统一规律（矛盾规律）来解释，这里不再赘述。 只是很遗憾地，很多国内填鸭式的教材，既忽略了学科的自然发展历史（不介绍这些直觉的来源）， 导致学生对知识的理解产生了障碍，产生了畏难情绪， 又高估了教师授课帮助学生解决矛盾的平均素质， 直接将抽象到极致的知识灌输给学生，导致学生对知识的理解和应用能力严重不足。 虽短时间内把握了计算之术，通过了期末的测验，却失去了数学的思维之道。修行如何，全看学生个人造化了。

高等数学 ​

微积分入门，直接用同济高数（如果有老师讲解）或 MIT 的 Scholar Course（纯自学）：

• 上册教给了你最基本的概念和相应的数学工具，求极限、求导、求积分。
• 下册推广到多变量、多重积分、无穷级数、常微分方程等。
• MIT 18.01SC Single Variable Calculus Fall 2010
• MIT 18.02SC Multivariable Calculus Fall 2010
• MIT 18.03SC Differential Equations Fall 2011

推荐参考资料（由于非数专业，不涉及任何纯分析学教材）：

• 龚升《简明微积分》，中科大的教材，撰写思路和其它国内教材很不一样，可以作为参考
• Calculus. James Stewart 和 Thomas' Calculus 是国外两本经典的微积分教材
• 3Blue1Brown：Essence of calculus / 微积分的本质 🚀
• 漫士沉思录：无痛高数合集，和上面的系列相辅相成

如果你不适应授课老师风格，有的时候看考研辅导书也是一种方法，目前推荐如下：

• 2024 年张宇出版的基础 30 讲高数部分（这一版内容全，把强化阶段的内容放进来了）。

线性代数 ​

线性代数这门课其实是围绕一个非常基本的问题展开的：如何求解线性方程组。

同济版本线性代数？去你妈的这能是人类写出来的“教材”？？？

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主要推荐 Gilbert Strang 教授在 MIT OpenCourseWare 上的有关课程：

• MIT 18.06SC Linear Algebra Fall 2011 网易公开课有中文字幕版，最流行的版本
  • 网络上流传有一份 douTintin 总结的中文笔记
  • GitHub 上面有一个 MIT-Linear-Algebra-Notes
• MIT 18.065 Matrix Methods in Data Analysis Spring 2018 与工科更加相关
• MIT 18.009 Differential Equations and Linear Algebra Fall 2015 涉及到微分方程
• 以上三门课 Strang 教授撰写出版了各自的教材，下面是其它资料
  • Linear Algebra for Everyone
  • The-Art-of-Linear-Algebra 提供上书的精简笔记（中英日版）
• Final 18.06 Lecture 2023 教授退休了...

其它非常有利于帮助理解相关概念的材料：

• 3Blue1Brown：Essence of linear algebra / 线性代数的本质 🚀
• 漫士沉思录：无痛线代合集，和上面的系列相辅相成
• Linear Algebra and Its Applications. 中译版为《线性代数及其应用》，偏应用
• Linear Algebra Done Right（最新版本开放获取，中译版为《线性代数应该这样学》）， 实际上这本书更多地是是面向数学专业的，所以尽管写得很好，但没有放到上面的推荐
• 丘维声老师的《高等代数》，适合数学专业的学生

概率论与数理统计 ​

• 陈希孺老师的《概率论与数理统计》
• MIT 18.05 Introduction To Probability And Statistics Spring 2022

如果你的后续学习需要用到很多机器学习（统计学）的知识：

• PRML 适合自学的大部头，数学细节多，2006 年出版，部分材料略微过时
• Deep Learning Foundations and Concepts 上书作者 Bishop 的新书
• PML 有的人更喜欢 Murphy 的写作风格，但我没看过，仅列在这里

其它 ​

• 《从一到无穷大：科学中的事实和臆测》
• 《什么是数学：对思想和方法的基本研究》
• 《数学天书中的证明》
• Matrix67：《思考的乐趣》《浴缸里的惊叹》
• 《非线性动力学与混沌》
• 《数学写真集》
• Quantum Computing Since Democritus
• 《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》